Question

（12分）已知斜三棱柱

在底面上的射影恰為的中點又知；

（1）求證：平面；

（2）求到平面的距離；

（3）求二面角的余弦值；

Answer 1

（1）∵A₁在底面ABC上的射影為AC的中點D   

∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC  

 ∴BC⊥平面A₁ACC₁    ∴BC⊥AC₁

∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B   ∴AC₁⊥平面A₁BC ----------4分

（2）如圖所示，以C為坐標原點建立空間直角坐標系

∵AC₁⊥平面A₁BC    ∴AC₁⊥A₁C

∴四邊形A₁ACC₁是菱形    ∵D是AC中點  

 ∴∠A₁AD=60^°∴A(2,0,0)  A₁(1,0,)  B(0,2,0)

  C₁(-1,0,)    ∴=(1,0,)  =(-2,2,0)

設平面A₁AB的法向量=(x,y,z)   ∴  令z=1  ∴=(,,1)

∵=(2,0,0)    ∴    ∴C₁到平面A₁AB的距離是 --------------8分

（3）平面A₁AB的法向量=(,,1)    平面A₁BC的法向量=(-3,0,)

∴    設二面角A-A₁B-C的平面角為，為銳角，

∴    ∴二面角A-A₁B-C的余弦值為           ---------------------12分