Question

【題目】已知中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓，它的離心率為，且與直線x＋y－1＝0相交于M、N兩點，若以MN為直徑的圓經過坐標原點，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：設橢圓方程（a＞b＞0），依題意橢圓方程可轉化為，與直線x+y﹣1=0聯立，設M（x1，y1）、N（x2，y2），利用OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0，利用韋達定理可得到關于b的關系式，從而可求得b2與a2．

試題解析：

設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，

∵e＝，∴a2＝4b2，即a＝2b.

∴橢圓方程為＋＝1.

把直線方程代入并化簡，得5x2－8x＋4－4b2＝0.

設M(x1，y1)、N(x2，y2)，則

x1＋x2＝，x1x2＝ (4－4b2)．

∴y1y2＝(1－x1)(1－x2)

＝1－(x1＋x2)＋x1x2＝ (1－4b2)．

由于OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0.

解得b2＝，a2＝.

∴橢圓方程為x2＋y2＝1.