Question

【題目】數列{an}滿足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ． （Ⅰ）證明：數列{ }是等差數列；
（Ⅱ）設bn=3n ，求數列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】證明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ∴ ，
∴ ，
∴數列{ }是以1為首項，以1為公差的等差數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∴ ，
bn=3n =n3n ，
∴ 3n﹣1+n3n①
3n+n3n+1②
① ﹣②得 3n﹣n3n+1
=
=
∴
【解析】（Ⅰ）將nan+1=（n+1）an+n（n+1）的兩邊同除以n（n+1）得 ，由等差數列的定義得證．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n =n3n ， 利用錯位相減求出數列{bn}的前n項和Sn ．
【考點精析】本題主要考查了等比關系的確定和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．