Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊長是a，b，c公差為1的等差數列，且a+b=2ccosA． （Ⅰ）求證：C=2A；
（Ⅱ）求a，b，c．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由已知a+b=2ccosA及正弦定理得sinA+sinB=2sinCcosA…①， 又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC…②
把②代入①得：sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA，
整理得：sinA=sin（C﹣A）
又∵0＜A＜π，0＜C﹣A＜π，
∴A=C﹣A
故C=2A．
（Ⅱ）由已知得a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，
整理得：b+4=2（b+1）cosA①
由（Ⅰ）知C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，
由正弦定理得c=2acosA即cosA= = ②
由①②整理得：b=5，
∴a=4，b=5，c=6．
【解析】（Ⅰ）由a+b=2ccosA．利用正弦定理可證C=2A．（Ⅱ）由a，b，c公差為1的等差數列，得a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，利用正弦定理可求a，b，c的值．
【考點精析】掌握正弦定理的定義和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．