Question

【題目】一緝私艇巡航至距領海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發現在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊．已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行．（參考數據： ° ， ）

（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領海內攔截成功；
（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領海內成功攔截？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）設緝私艇在 處與走私船相遇（如圖甲），

依題意， ．

在△ 中，由正弦定理得，

．

因為 ° ，所以 °．

從而緝私艇應向北偏東 方向追擊．

在△ 中，由余弦定理得，

，

解得 ．

又B到邊界線l的距離為 ．

因為 ，所以能在領海上成功攔截走私船．

答：緝私艇應向北偏東 方向追擊；

（2）

解：如圖乙，以 為原點，正北方向所在的直線為 軸建立平面直角坐標系 ．

則 ，設緝私艇在 處（緝私艇恰好截住走私船的位置）與走私船相遇，則 ，即 ．

整理得， ，

所以點 的軌跡是以點 為圓心， 為半徑的圓．

因為圓心 到領海邊界線 ： 的距離為1.55，大于圓半徑 ，

所以緝私艇能在領海內截住走私船．

答：緝私艇總能在領海內成功攔截走私船．

【解析】(1) 假設在C點能攔截，由BC、AC關系算出∠BAC，再由余弦定理算出BC判斷BC與B到邊界的距離。（2）設出攔截點的坐標，根據 ，用兩點間距離公式分別表示PA、PB可得一個圓，然后比較點B到邊界的距離與半徑的大小。