Question

12．已知$\overrightarrow{OA}$=（1，2，3），$\overrightarrow{OB}$=（2，1，2），$\overrightarrow{OC}$=（1，1，2），點M在直線OC上運動，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最小值為$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用向量共線定理和數量積運算、二次函數的單調性等即可得出．

解答 解：設M（x，y，z），
∵點M在直線OC上運動，
∴存在實數λ，使得$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OC}$，
∴（x，y，z）=λ（1，1，2），得到x=λ，y=λ，z=2λ．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1-λ，2-λ，3-2λ）•（2-λ，1-λ，2-2λ）
=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=6λ²-16λ+10=$6（λ-\frac{4}{3}）^{2}-\frac{2}{3}$．
當且僅當$λ=\frac{4}{3}$時，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取得最小值．
此時M$（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{8}{3}）$．最小值為$-\frac{2}{3}$，
故答案為：$-\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查向量數量積的計算，熟練掌握向量共線定理和數量積運算、二次函數的單調性等是解題的關鍵．