Question

設數(shù)列的首項，前項和為，且，，成等差數(shù)列，其中.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項和為，求及數(shù)列的最大項.

Answer 1

（1）；（2），最大項是.

試題分析：（1）根據(jù)題意可知，考慮到當時，，因此可以結合條件消去得到數(shù)列的地推公式：當時，，
∴，∴，容易驗證當時，上述關系式也成立，從而數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即有；（2）根據(jù)（1）中求得的通項公式，結合條件，因此可以考慮采用裂項相消法來求其前項和：

     ，利用作差法來考察數(shù)列的單調性，可知當時，，即；當時，也有，但；當時，，，即，因此最大項即為.
試題解析：（1）由、、成等差數(shù)列知，                1分
當時，，∴，
∴，                             4分
當時，由得，                        5分
綜上知，對任何,都有,又，∴，.     6分
∴數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴；          7分
(2)，    10分
     ，                      12分
，
當時，，即；當時，也有，但；當時，，，即，∴數(shù)列的的最大項是.                                   15分