Question

設各項均為正數的數列的前項和為,滿足且構成等比數列．(1) 證明:；(2) 求數列的通項公式；(3) 證明:對一切正整數,有.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

試題分析：（1）對于取n=1，可得到與的關系，即可證得；（2）當時，有，可得到的與的關系式，從而可知等差數列的公差，又由構成等比數列，從而可求出基本量，即可寫出其通項公式；（3）裂項：，以下用裂項相消法，即可化簡題中左式，從而證得不等式.
試題解析：（1）當時，，；
（2）當時，，；,，
當時，是公差的等差數列．構成等比數列，，，解得,由（1）可知，，是首項,公差的等差數列．數列的通項公式為.
（3）與的關系：，等差數列的定義，等比中項，裂項相消求和法，特殊到一般思想，化歸思想.