Question

9．函數f（x）=|sinx|+|sin（x+$\frac{π}{3}$）|的值域為[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 在一個周期[0，2π）內，討論sinx、sin（x+$\frac{π}{3}$）的正負，求出函數f（x）的值域即可．

解答 解：令sinx=0和sin（x+$\frac{π}{3}$）=0，x∈[0，2π），
解得x=0，π和x=$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$；
∴①當x∈[0，$\frac{2π}{3}$]時，sinx≥0，sin（x+$\frac{π}{3}$）≥0，
∴f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
此時x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$；
②當x∈（π，$\frac{5π}{3}$）時，sinx＜0，sin（x+$\frac{π}{3}$）＜0，
∴f（x）=-sinx-sin（x+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
此時x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
-1≤sin（x+$\frac{π}{6}$）≤-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$；
③當x∈（$\frac{2π}{3}$，π）時，sinx＞0，sin（x+$\frac{π}{3}$）＜0，
∴f（x）=sinx-sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（-$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{6}$）=-cos（x+$\frac{π}{6}$）；
此時x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
-1≤cos（x+$\frac{π}{6}$）＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$；
④當x∈（$\frac{5π}{3}$，2π]時，sinx≤0，sin（x+$\frac{π}{3}$）＞0，
∴f（x）=-sinx+sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{6}$cos（x+$\frac{π}{6}$）=cos（x+$\frac{π}{6}$）；
此時x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{11π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，
$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜f（x）≤1；
綜上，函數f（x）的值域為[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質的應用問題，也考查了分段函數與分類討論思想的應用問題，是綜合題．