Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，-$\frac{1}{2}$）與向量$\overrightarrow{n}$=（1，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共線，其中A是△ABC的內角，則角tanA的值為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由向量共線得到sinA（sinA+$\sqrt{3}$cosA）=-$\frac{1}{2}$，通過三角形函數的化簡，得到sin（2A-$\frac{π}{6}$）=-1，由于A∈（0，π），即可得出．

解答 解：向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，-$\frac{1}{2}$）與向量$\overrightarrow{n}$=（1，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共線，
∴sinA（sinA+$\sqrt{3}$cosA）=-$\frac{1}{2}$，
∴sin²A+$\sqrt{3}$sinAcoA=-$\frac{1}{2}$，
∴2sin²A-1+2$\sqrt{3}$sinAcoA=-2
∴-cos2A+$\sqrt{3}$sin2A=-2，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=-1，
∴2A-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∵A是△ABC的內角
∴A=$\frac{5π}{6}$，
∴tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查了向量共線定理、和差化積、倍角公式、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．