Question

【題目】一青蛙從點開始依次水平向右和豎直向上跳動，其落點坐標依次是，（如圖所示，坐標以已知條件為準），表示青蛙從點到點所經過的路程.

（1）若點為拋物線（）準線上一點，點均在該拋物線上，并且直線經過該拋物線的焦點，證明.

（2）若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且,試寫出（不需證明）；

（3）若點要么落在所表示的曲線上，要么落在所表示的曲線上，并且，求的表達式.

Answer 1

【答案】解：(1)設，由于青蛙依次向右向上跳動，

所以，，由拋物線定義知：分

(2) 依題意，

隨著的增大，點無限接近點分

橫向路程之和無限接近，縱向路程之和無限接近分

所以=分

(3)方法一：設點，由題意，的坐標滿足如下遞推關系：，且

其中分

∴，即，

∴是以為首項，為公差的等差數列，

∴，

所以當為偶數時，，于是，

又

∴當為奇數時，分

當為偶數時，

當為奇數時，

所以，當為偶數時，

當為奇數時，

所以，分

方法二：由題意知

其中

觀察規律可知：下標為奇數的點的縱坐標為首項為，公比為的等比數列．相鄰橫坐標之差為首項為2，公差為1的等差數列．下標為偶數的點也有此規律．并由數學歸納法可以證明．分

所以，當為偶數時，

當為奇數時，

當為偶數時，

當為奇數時，分

所以，分

【解析】

試題（1）直接借助題設求解即可獲證；（2）運用題設條件和極限思想表示出來再求解即可；（3）運用題設中提供的信息分類進行求解．

試題解析：（1）設，由于青蛙依次向右向上跳動，

所以，，由拋物線定義知：．

（2）依題意，，，（）

隨著的增大，點無限接近點，

橫向路程之和無限接近，縱向路程之和無限接近，

所以．

（3）方法一：設點，則題意，的坐標滿足如下遞推關系：

，且，（）

其中，

∴，即，

∴是以為首項，2為公差的等差數列，

∴，

所以當為偶數時，，于是，

又，

∴當為奇數時，，，

當為偶數時，

當為奇數時，

所以，當為偶數時，

當為奇數時，

所以，．

方法二：由題意知，，，，，，…

其中，，，，…

，，，…

觀察規律可知：下標為奇數的點的縱坐標為首項為，公比為4的等比數列，相鄰橫坐標之差為首項為2，公差為1的等差數列，下標為偶數的點也有此規律，并由數學歸納法可以證明．

所以，當為偶數時，

當為奇數時，，

當為偶數時，

當為奇數時，

所以，．