Question

如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
（1）求證：ED²=EC•EB
（2）若BC是△ABC的外接圓的直徑，且BC=2，CE=1．求AC長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）由弦切角定理，結合三角形的外角證出∠ADE=∠DAE，從而EA=ED．再由切割線定理，得EA²=EC•EB，結合EA=ED，即可證出ED²=EC•EB；
（2）利用△EAC∽△EBA，可得

EA

EB

=

AC

BA

=

EC

EA

，代入數據，即可得出結論．

解答： （1）證明：∵AE是圓的切線，∴∠ABC=∠CAE．
∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD，
從而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，
∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．
∵AE是圓的切線，∴由切割線定理，得EA²=EC•EB．
結合EA=ED，得ED²=EC•EB；
（2）解：∵AE是圓的切線，∴∠ABC=∠CAE，
∵∠E=∠E，
∴△EAC∽△EBA，
∴

EA

EB

=

AC

BA

=

EC

EA

，
∵BC=2，CE=1，
∴EA=

3

，

AC

BA

=

1

3

，
∵BC是△ABC的外接圓的直徑，且BC=2，
∴AC=1．

點評：本題主要考查三角形與圓的一些基礎知識，如三角形的外接圓、角平分線，圓的切線性質、圓冪定理等．本題屬基礎題．