Question

（本小題滿分15分）在數(shù)列中，已知.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列滿足，且的前項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.

Answer 1

（1）; （2）詳見(jiàn)解析;（3）.

【解析】

試題分析：（1）由于,可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得.即可證明數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.（3）由（1）知，,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即對(duì)n取任意正偶數(shù)都成立，所以，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

對(duì)時(shí)恒成立，綜上，即可求出結(jié)果.

試題解析：【解析】
（1）,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴. 3分

（2）

∴.

∴，公差

∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.7分（未證明扣1分）

（3）由（1）知，,

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

，即對(duì)n取任意正偶數(shù)都成立

所以 11分

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

對(duì)時(shí)恒成立，綜上，. 15分 .

考點(diǎn)：1.等差、等比通項(xiàng)公式；2.數(shù)列求和；3.不等式恒成立問(wèn)題.