Question

過橢圓左焦點F且傾斜角為60°的直線與橢圓交于A、B兩點，若

AF

=

3

2

FB

，則橢圓的離心率等于（　�。�

• A、

  2

  5

• B、

  2

  3

• C、

  1

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意設出橢圓方程，求得直線AB的方程，和橢圓方程聯立后求得A，B兩點的縱坐標，由

AF

=

3

2

FB

轉化為縱坐標的關系得答案．

解答： 解：由題意設題意方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
橢圓左焦點F（-c，0），
直線AB的傾斜角為60°，則斜率為

3

，
∴直線AB的方程為y=

3

(x+c)．
聯立

y= 3 (x+c) x2 a2 + y2 b2 =1

，得(3a2+b2)y2-2

3

b2cy-3b4=0．
解得：y1=

3 b2(c+2a)

3a2+b2

，y2=

3 b2(c-2a)

3a2+b2

．
∵

AF

=

3

2

FB

，∴-y₁=

3

2

y₂．
即-

3 b2(c+2a)

3a2+b2

=

3

2

3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
解得：e=

c

a

=

2

5

．
故選：A．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，運用了數學轉化思想方法，是中檔題．