Question

17．一個盒子里裝有7個大小形狀相同的球，其中有紅色球4個，編號分別為1，2，3，4；白色球3個，編號分別為2，3，4．從盒子中任取3個球（假設取到任何一個球的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的3個球中，含有編號為2的球的概率；
（Ⅱ）求取出的3個球中，最大編號為3的概率；
（Ⅲ）在取出的3個球中，紅色球的個數設為X，求隨機變量X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設“取出的3個球中，含有編號為2的球”為事件A，由互斥事件加法概率計算公式能求出取出的3個球中，含有編號為2的球的概率．
（Ⅱ）設“取出的3個球中，最大編號為3”為事件B，由互斥事件加法概率計算公式能求出取出的3個球中，最大編號為3的概率．
（Ⅲ）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列．

解答 解：（Ⅰ）設“取出的3個球中，含有編號為2的球”為事件A，則$P（A）=\frac{C_2^1C_5^2+C_2^2C_5^1}{C_7^3}=\frac{5}{7}$
所以取出的3個球中，含有編號為2的球的概率為$\frac{5}{7}$…（4分）
（Ⅱ）設“取出的3個球中，最大編號為3”為事件B，則$P（B）=\frac{C_2^1C_3^2+C_2^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{9}{35}$
所以取出的3個球中，最大編號為3的概率為$\frac{9}{35}$…（8分）
（Ⅲ）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．
$P（X=0）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_3^2}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，
所以隨機變量X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．