Question

在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分別為、的中點(diǎn).

(1)求二面角的余弦值;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：（1）本題中取中點(diǎn)，將會(huì)出現(xiàn)許多垂直，這正是我們解題時(shí)需要的結(jié)果，由于，則，由于平面平面，則平面，是正三角形，則，有了這些垂直后，就可以建立空間直角坐標(biāo)系（以為原點(diǎn)，分別為軸），寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算所需向量的坐標(biāo)，設(shè)分別是二面角的兩個(gè)面的法向量，則二面角的余弦值，就等于（或者其相反數(shù)，這要通過圖形觀察確定）；（2）設(shè)平面的法向量是，則點(diǎn)以平面的距離為．
試題解析：⑴取中點(diǎn),連結(jié)?.∵,,
∴,.∵平面平面,
平面平面,∴平面,∴.  
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,
∴.

∴．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，
取，則，∴，
又為平面的一個(gè)法向量，
，即二面角的余弦值為．
(2)由⑴得,又為平面的一個(gè)法向量,,
∴點(diǎn)到平面的距離.