Question

當x∈（3，4）時，不等式loga(x-2)+(x-3)2＜0恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A．(0，

  1

  2

  ]
• B．[

  1

  2

  ，1)
• C．（1，2]
• D．[2，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得，loga(x-2)＜-(x-3)2在（3，4）上恒成立，從而只要，loga(x-2)＜-(x-3)2在（3，4）上的最小值即可

解答：解：由題意可得，loga(x-2)＜-(x-3)2在（3，4）上恒成立
令f（x）=log_a（x-2），g（x）=-（x-3）²
則f（x）＜g（x）_min
∵3＜x＜4時，g（x）=-（x-3）²單調遞減
∴g（x）∈（-1，0）
∴log_a（x-2）≤-1在x∈（3，4）恒成立
∵3＜x＜4
∴1＜x-2＜2
當a＞1時，0＜log_a（x-2）不滿足題意
∴0＜a＜1
∴y=log_a（x-2）在（3，4）上單調遞減
若使不等式，loga(x-2)＜-(x-3)2在（3，4）上恒成立
∴log_a2≤-1
∴

1

2

≤a＜1
故選B

點評：本題主要考查了利用函數的恒成立求解參數的范圍，解題的關鍵是求出相應函數的最值．體現了轉化思想在求解中的應用．