Question

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當x∈[0，1）時f（x）=log_0.5（1-x），則：
①2是函數f（x）的周期；
②f（x）在（1，2）上是增函數，在（2，3）上是減函數；
③f（x）的最大值是1，最小值是0；
④當x∈（3，4）時，f（x）=log_0.5（x-3）．
其中所有正確命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：①利用函數周期性的定義判斷．②利用函數的周期性，奇偶性和單調性的關系判斷．③利用函數的單調性和周期確定函數的最值．④利用函數的周期性和奇偶性求函數的解析式．

解答：解：①因為f（x+1）=f（x-1），所以f（x+2）=f（x），所以函數是周期函數，周期為2，所以①正確．
②當x∈[0，1）時f（x）=log_0.5（1-x），此時函數單調遞增．因為函數為偶函數，所以函數在（-1，0）上單調遞減，
所以f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，3）上是增函數，所以②錯誤．
③由②知函數在x=0處取得最小值，在x=1處取得最大值，因為f（0=log_0.5（1-0）=0，所以最小值為0．因為函數的最大值為f（1），但f（1）沒有具體的數值，所以③錯誤．
④若3＜x＜4，則-4＜-x＜-3，所以0＜4-x＜1，所以f（x）=f（-x）=f（4-x）=log?_0.5[1-（4-x）]=log?_0.5（x-3），所以④正確．
故答案為：①④．

點評：本題主要考查與函數有關的命題的真假判斷，要求熟練掌握函數的周期性，奇偶性和單調性的關系，綜合性較強．