Question

1．已知函數f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}cos2x（{x∈R}）$．
（1）若f（a）=$\frac{1}{2}$且$a∈（{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}）$，求cos2a；
（2）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（3）記函數f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最大值為b，且函數f（x）在[aπ，bπ]（a＜b）上單調遞增，求實數a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，通過方程轉化求解cos2a．
（2）求出函數的導數，切線的斜率，切點坐標，然后求解切線方程．
（3）利用三角函數的最值求得b，利用函數的單調區間求解實數a的最小值．

解答 解：（1）$f（x）=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，…（1分）
∵$f（α）=\frac{1}{2}$，∴$sin（{2α-\frac{π}{3}}）=\frac{1}{4}$，
∵$α∈（{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}）$，∴$2α-\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$cos（{2α-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．…（3分）
∴$cos2α=cos（{2α-\frac{π}{3}+\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{15}}}{4}×\frac{1}{2}-\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{8}$．…（4分）
（2）∵$f'（x）=4cos（{2x-\frac{π}{3}}）$，∴f'（0）=2，又$f（0）=-\sqrt{3}$，
∴所求切線方程為$y=2x-\sqrt{3}$…（7分）
（3）當$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$時，$2x-\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，f（x）∈[1，2]，
∴b=2．…（9分）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ（{k∈Z}）$．…（10分）
又函數f（x）在[aπ，2π]（a＜2）上單調遞增，
∴$[{aπ，2π}]⊆[{-\frac{π}{12}+2π，\frac{5π}{12}+2π}]$，
∴$-\frac{π}{12}+2π≤aπ≤2π$，
∴${a_{min}}=\frac{23}{12}$．…（12分）

點評 本題考查三角函數化簡求值，切線方程的求法，三角函數的最值以及單調區間的應用，考查轉化思想以及計算能力．