Question

7．已知等比數列{a_n}的首項為1，公比為q，它的前n項和為S_n；
（1）若S₃=3，S₆=-21，求公比q；
（2）若q＞0，且T_n=a₁+a₃+…+a_2n-1，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）判斷公比不為1，運用等比數列的求和公式，解方程可得公比q；
（2）分別運用等比數列的求和公式，求得S_n，T_n，再對公比q討論：0＜q＜1，q=1，q＞1，由極限公式，即可得到所求值．

解答 解：（1）S₃=3，S₆=-21，
可得q≠1，則$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=3，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=-21，
兩式相除可得1+q³=-7，
解得q=-2；
（2）S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
T_n=a₁+a₃+…+a_2n-1=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$．
當q＞1時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+q}{1+{q}^{n}}$=0；
當0＜q＜1時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{1+q}{1+0}$=1+q；
當q=1時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{1+q}{1+q}$=1．

點評 本題考查等比數列的求和公式和數列極限的求法，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．