Question

設函數f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）當b=1時，求曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）當n∈N^*，且n≥2時證明不等式：ln[（

1

2

+1）（

1

3

+1）…（

1

n

+1）]+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

＞

1

2

-

1

n+1

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,證明題,分類討論,導數的概念及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出導數，求出切線的斜率和切點，由點斜式的方程即可得到；
（2）求出導數，討論當b≥

1

2

時，當b＜0時，0＜b＜

1

2

時，令導數大于0得增區間，令導數小于0，得減區間，注意定義域；
（3）b=-1時，f（x）=x²-ln（x+1），令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），求出導數，運用單調性得到當x＞0時，x³-x²+ln（x+1）＞0，即ln（x+1）+x³＞x²，對任意的n為正整數，取x=

1

n

，有ln（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

n2

．再由對數的性質和裂項相消求和即可得證．

解答： （1）解：f（x）=x²+ln（1+x），則f′（x）=2x+

1

1+x

，
曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線斜率為f′（0）=1，
切點為（0，0），則切線方程為y=x；
（2）f′（x）=2x+

b

x+1

=

2(x+ 1 2 )2+b- 1 2

x+1

（x＞-1），
當b≥

1

2

時，f′（x）≥0，f（x）在x＞-1上遞增；
當b＜

1

2

，f′（x）=0，解得，x₁=

-1- 1-2b

2

，x₂=

-1+ 1-2b

2

，
①當b＜0時，x₁＜-1，x₂＞-1，f′（x）＞0，得x＞x₂，f′（x）＜0，得-1＜x＜x₂，
②當0＜b＜

1

2

時，x₁＞-1，x₂＞-1，f′（x）＞0，得x＞x₂，-1＜x＜x₁，f′（x）＜0，得x₁＜x＜x₂；
綜上可得，當b≥

1

2

時，f（x）的增區間為（-1，+∞）；
當b＜0時，f（x）的增區間為（

-1+ 1-2b

2

，+∞），減區間為（-1，

-1+ 1-2b

2

）；
當0＜b＜

1

2

時，f（x）的增區間為（

-1+ 1-2b

2

，+∞），（-1，

-1- 1-2b

2

）
減區間為（

-1- 1-2b

2

，

-1+ 1-2b

2

）；
（3）b=-1時，f（x）=x²-ln（x+1），
令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

在x≥0恒正，
h（x）在[0，+∞）遞增，x＞0時，h（x）＞h（0）=0，即當x＞0時，x³-x²+ln（x+1）＞0，
即ln（x+1）+x³＞x²，對任意的n為正整數，取x=

1

n

，有ln（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

n2

．
則ln[（

1

2

+1）（

1

3

+1）…（

1

n

+1）]+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

=ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

=ln（1+

1

2

）+

1

23

+ln（1+

1

3

）+

1

33

+…+ln（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

2

-

1

n+1

．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區間，考查分類討論的思想方法，考查函數的單調性的運用：證明不等式，考查放縮法和裂項相消求和的方法，考查運算能力，屬于中檔題．