已知橢圓
的長軸長為
，離心率為
，
分別為其左右焦點．一動圓過點
，且與直線
相切．
（1）(ⅰ)求橢圓
的方程；（ⅱ)求動圓圓心軌跡
的方程；
（2）在曲線上有四個不同的點
，滿足
與
共線，
與
共線，且
，求四邊形
面積的最小值．
（1）(ⅰ）
；（ⅱ）
；（2）. 四邊形面積的最小值為
.
解析試題分析：（1）(ⅰ)由題意，
,再結合
解出
的值從而得到橢圓的標準方程；(ⅱ)由條件“動圓過點，且與直線相切”知動圓圓心到定點
的距離等于到定直線
的距離，且定點
不在定直線上，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線；
（2）由題設知直線
和直線
互相垂直相交于點，且分別與物拋線有兩個交點，因此兩直線的斜率均存在且不為零，所以解決問題的基本思路是以其中一條直線的斜率
為自變量，利用直線與拋物線相交的位置關系，將四邊形的面積表示成直線斜率的函數，轉化為函數的最值問題.
試題解析：（1）(ⅰ)由已知可得
則所求橢圓方程 3分
(ⅱ)由已知可得動圓圓心的軌跡為拋物線，且拋物線 的焦點為
，準線方程為 ，則動圓圓心軌跡方程為 6分
（2）由題設知直線
的斜率均存在且不為零
設直線的斜率為
,
則直線的方程為：
聯立
消去
可得
8分
由拋物線這義可知：
10分
同理可得
11分
又
（當且僅當
時取到等號)
所以四邊形面積的最小值為. 14分
考點：1、橢圓的標準方程；2、拋物線的定義與標準方程；3、直線與拋物線的位置關系綜合.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線C：
離心率是
，過點
，且右支上的弦
過右焦點
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求弦的中點
的軌跡E的方程；
（3）是否存在以為直徑的圓過原點O？,若存在，求出直線的斜率k 的值．若不存在，則說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
、
為橢圓
的左右焦點，點
為其上一點，且有
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）過的直線
與橢圓
交于
、
兩點，過與平行的直線
與橢圓交于、
兩點，求四邊形
的面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
，過點
且離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知
是橢圓的左右頂點，動點M滿足
，連接AM交橢圓于點P，在x軸上是否存在異于A、B的定點Q,使得直線BP和直線MQ垂直.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓
的離心率為
，過橢圓右焦點
作兩條互相垂直的弦
與
．當直線斜率為0時，
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
的中心和拋物線
的頂點均為原點
，、的焦點均在
軸上，過的焦點F作直線
，與交于A、B兩點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
（1）求，的標準方程；
（2）若與交于C、D兩點，
為的左焦點，求
的最小值；
（3）點
是上的兩點，且
，求證：
為定值；反之，當為此定值時，是否成立？請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
:
的準線與
軸交于點
,焦點為
;橢圓
以
為焦點,離心率
.設
是
的一個交點.
(1)當
時,求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線
過的右焦點,與交于
兩點,且
等于
的周長,求的方程.
(3)求所有正實數
,使得的邊長是連續正整數.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為
,點
為拋物線上的一點，其縱坐標為
，
.
（1）求拋物線的方程；
（2）設
為拋物線上不同于的兩點，且
，過兩點分別作拋物線的切線，記兩切線的交點為
，求
的最小值.
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中，已知動點
到點
的距離為
，到
軸的距離為
，且
．
的軌跡
的方程；
斜率為1且過點
，其與軌跡
，求
的值．