已知
、
為橢圓
的左右焦點，點
為其上一點，且有
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）過的直線
與橢圓
交于
、
兩點，過與平行的直線
與橢圓交于、
兩點，求四邊形
的面積
的最大值.
（1）
；（2）
.
解析試題分析：（1）設橢圓的標準方程為
，先利用橢圓定義得到
的值并求出
的值，然后將點
的坐標代入橢圓方程求出
的值，最終求出橢圓的方程；（2）根據平行四邊形的幾何性質得到
，即先求出
的面積的最大值，先設直線
的方程為
，且
、
，將此直線的方程與橢圓的方程聯立，結合韋達定理將的面積表示成只含
的表達式，并利用換元法將代數式進行化簡，最后利用基本不等式并結合雙勾函數的單調性來求出面積的最大值，從而確定平行四邊形面積的最大值.
（1）設橢圓的標準方程為，
由已知
得
，
，
又點在橢圓上，
，
橢圓的標準方程為；
（2）由題意可知，四邊形為平行四邊形 ，
設直線的方程為，且、，
由
得
，
，
，
，
，
令
，則
，
，
又
在
上單調遞增，
，
的最大值為
，
所以的最大值為.
考點：1.橢圓的定義與方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.韋達定理；4.基本不等式
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓
的圓心在坐標原點
，且恰好與直線
相切，設點A為圓上一動點，
軸于點
，且動點
滿足
，設動點的軌跡為曲線
（1）求曲線C的方程，
（2）直線l與直線l，垂直且與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
（
）過點
，且橢圓的離心率為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）若動點
在直線
上，過作直線交橢圓于
兩點，且為線段
中點，再過作直線
．求直線
是否恒過定點，如果是則求出該定點的坐標，不是請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓C1：
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為為
，
恰是拋物線C2：
的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且｜MF2｜=
．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的點N滿足
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓
．稱圓心在原點O，半徑為
的圓是橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為
，其短軸上的一個端點到F的距離為
．
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”方程；
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線
，使得
與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，橢圓上的點到焦點的最小距離為
，離心率
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線
交于、
兩點，點
，問是否存在
，使
?若存在求出的值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的長軸長為
，離心率為
，
分別為其左右焦點．一動圓過點
，且與直線
相切．
（1）(ⅰ)求橢圓
的方程；（ⅱ)求動圓圓心軌跡
的方程；
（2）在曲線上有四個不同的點
，滿足
與
共線，
與
共線，且
，求四邊形
面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知平面內一動點
到兩個定點
、
的距離之和為
，線段
的長為
.
（1）求動點的軌跡
；
（2）當
時，過點作直線
與軌跡交于、
兩點，且點在線段的上方，線段
的垂直平分線為
①求
的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點
、
關于直線對稱，請說明理由.
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的頂點作射線
與拋物線交于
，若
，求證：直線
過定點．