Question

【題目】已知.

（1）當時，求證：在上單調遞減；

（2）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）求得導數，結合指數函數與余弦函數的性質，求得，即可得到結論.

（2）當時，可得命題成立，當時，設，求得，求得函數的單調性，得到，分類討論，即可求解.

（1）由題意，函數，可得，

由時，則，

當時，，所以，

所以在上單調遞減.

（2）當時，，對于，命題成立，

當時，由（1），

設，則，

因為，所以，在上單調遞增，

又， 所以，

所以在上單調遞增，且，

①當時，，所以在上單調遞增，

因為，所以恒成立；

②當時，，因為在上單調遞增，

又當時，，

所以存在，對于，恒成立.

所以在上單調遞減，所以當時，，不合題意.

綜上，當時，對于，恒成立.