Question

【題目】如圖，大擺錘是一種大型的游樂設備，常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中，面向外.通常，大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險.座艙旋轉的同時，懸掛座艙的主軸在電機的驅動下做單擺運動.大擺錘的運行可以使置身其上的游客驚心動魄.今年元旦，小明去某游樂園玩“大擺錘”，他坐在點處，“大擺錘”啟動后，主軸在平面內繞點左右擺動，平面與水平地面垂直，擺動的過程中，點在平面內繞點作圓周運動，并且始終保持，，已知，在“大擺錘”啟動后，下列個結論中正確的是______（請填上所有正確結論的序號）.

①點在某個定球面上運動；

②線段在水平地面上的正投影的長度為定值；

③直線與平面所成角的正弦值的最大值為；

④直線與平面所成角的正弦值的最大值為.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

計算出為定值，可判斷命題①的正誤；過點作與水平地面垂直，設，考慮時線段在水平地面上的正投影的長度與的關系式，由此可判斷命題②的正誤；計算出點到平面距離的最大值，可計算出直線與平面所成角的正弦值，由此可判斷命題③④的正誤.

對于命題①，、均為定值，，，，

（定值），所以，點在某個定球面上運動，命題①正確；

對于命題②，過點作與水平地面垂直，設，

當時，如下圖所示：

則直線與水平地面所成的角為，所以，線段在水平地面上的正投影的長度為，不為定值，命題②錯誤；

對于命題③④，由于為定值，設點到平面的距離為，則，

所以，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，則命題③正確，命題④錯誤.

故答案為：①③.