Question

【題目】已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（2）如果對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

（1）代入的函數(shù)解析式，求得導(dǎo)函數(shù)及切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得切線方程；

（2）求得導(dǎo)函數(shù)，并對(duì)分類討論，即可確定的單調(diào)性，進(jìn)而由不等式恒成立求得的取值范圍；

（3）將的解析式代入可得解析式，結(jié)合基本不等式可知在時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可知為奇函數(shù)，由可判斷的單調(diào)情況，進(jìn)而構(gòu)造，可證明當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即可判斷時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，，

可得，

則有，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，

則切線方程為，

化簡可得.

（2）函數(shù)，

則，

當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上單增，而，與恒成立矛盾，不合題意；

當(dāng)時(shí)，恒成立，則符合題意；

當(dāng)時(shí)，由得，則在上單調(diào)遞減，

在上為單調(diào)遞增，

則，解得．

綜上：．

（3）因，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>恒成立，

則在上為增函數(shù)，而，則此時(shí)函數(shù)有唯一零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，則為奇函數(shù)．

只需研究情形．

由，

得，則有．

則，，

則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

則有．

下面證明：當(dāng)時(shí)，．

證明：令，則，，

即函數(shù)在上為增函數(shù)，故有，

則在上為增函數(shù)，故有，則．

當(dāng)時(shí)，有，則，

取，則，

因?yàn)?/span>為連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)存在性定理可得：存在唯一，使得，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，也即此時(shí)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．

綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．