Question

15．設A、B分別為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，P是雙曲線C上異于A、B的任一點，設直線AP，BP的斜率分別為m，n，則$\frac{2a}+ln|m|+ln|n|$取得最小值時，雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由題意求得直線AP及PB斜率，根據(jù)對數(shù)的運算性質即可求得ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，構造函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)的單調性即可求得t=1時，h（t）取最小值，$\frac{a}$=1，利用雙曲線的離心率公式即可求得答案．

解答 解：由A（-a，0），B（a，0），設P（x₀，y₀），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，y₀²=b²（$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$），
則m=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，n=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
則mn=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
則$\frac{2a}+ln|m|+ln|n|$=$\frac{2a}$+ln$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2a}$+2ln$\frac{a}$，
設$\frac{a}$=t，t＞0，
則h（t）=$\frac{2}{t}$+2lnt，t＞0，
h′（t）=$\frac{2}{t}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}}$，
t＞1時，h（t）遞增；0＜t＜1，h（t）遞減．
則t=1時，h（t）取最小值，
∴$\frac{a}$=1時
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，對數(shù)的運算性質，導數(shù)與函數(shù)單調性及最值的關系，考查計算能力，屬于中檔題．