Question

10．已知點A，B，C是單位圓O上圓周的三等分點，設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$
（ I）求證：（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$
（ II）若|t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=1，求實數t的值．

Answer 1

分析 （ I）由題意可得$|\overrightarrow{a}|$=$|\overrightarrow{b}|$=$|\overrightarrow{c}|$=1，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$兩兩夾角均為120^°，計算（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=0，即可證明（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$．
（ II）由|t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=1，可得$（t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}$=${t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=1，又$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$，代入即可得出．

解答 解：（ I）由題意可得$|\overrightarrow{a}|$=$|\overrightarrow{b}|$=$|\overrightarrow{c}|$=1，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$兩兩夾角均為120^°，
所以：（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=1×1×cos120°-1×1×cos120°=0，所以（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{c}$．
（ II）因為|t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=1，所以$（t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）^{2}$=${t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}$+$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=1，
因為$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{1}{2}$，
則t²+1+1-t-t-1=1，則t²-2t=0，解得t=0或2．

點評 本題考查了向量三角形法則、數量積運算性質、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．