Question

某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間舉行，比賽采用積分制，比賽規(guī)則規(guī)定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分；比賽共進(jìn)行五局，積分有超過5分者比賽結(jié)束，否則繼續(xù)進(jìn)行．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局比賽輸贏互不受影響．若甲第n局贏、平、輸?shù)牡梅址謩e記為a_n=2、a_n=1、a_n=0n∈N^*，1≤n≤5，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求S₃=5的概率；
（Ⅱ）若隨機(jī)變量ξ滿足S_ξ=7（ξ表示局?jǐn)?shù)），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）S₃=5，即前3局甲2勝1平，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求解即可．
（II）S_ξ=7時(shí)，表示甲的得分之和為7，故ξ=4，5，且最后一局甲贏，已的得分之和不超過5，
ξ=4時(shí)前三局中贏兩局平一局，第四局贏；
ξ=5時(shí)前四局中甲贏兩局平一局輸一局或贏一局平三局，第五局贏．
 利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．
解答：解：（I）S₃=5，即前3局甲2勝1平．
由已知甲贏的概率為，平的概率為，輸?shù)母怕蕿?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213339069035589/SYS201310232133390690355002_DA/2.png">，
得S₃=5得概率為．
（II）S_ξ=7時(shí)，ξ=4，5，且最后一局甲贏，
；
．
ξ的分布列為

∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，考查分析問題、解決問題的能力．