Question

某次象棋比賽的決賽在甲乙兩名棋手之間進行，比賽采用積分制，比賽規則規定贏一局得2分，平一局得1分，輸一局得0分，根據以往經驗，每局甲贏的概率為

1

2

，乙贏的概率為

1

3

，且每局比賽輸贏互不影響．若甲第n局的得分記為a_n，令S_n=a₁+a₂+…+a_n
（Ⅰ）求S₃=5的概率；
（Ⅱ）若ξ=S₂，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（I）S₃=5，即前3局甲2勝1平．由已知甲贏的概率為

1

2

，平的概率為

1

6

，輸的概率為

1

3

，能求出S₃=5的概率．
（II）由題設知，ξ=0，1，2，3，4．P（ξ=0）=

1

3

×

1

3

=

1

9

，P（ξ=1）=

1

6

×

1

3

+

1

3

×

1

6

=

1

9

，P（ξ=2）=

1

6

×

1

6

+

1

2

×

1

3

+

1

3

×

1

2

=

13

36

，P（ξ=3）=

1

2

×

1

6

+

1

6

×

1

2

=

1

6

，P（ξ=4）=

1

2

×

1

2

=

1

4

．由此能求出ξ的分布列及數學期望．

解答：解：（I）S₃=5，即前3局甲2勝1平．  （1分）
由已知甲贏的概率為

1

2

，平的概率為

1

6

，輸的概率為

1

3

，
所以S₃=5的概率為

C

2 3

(

1

2

)2(

1

6

)=

1

8

．（5分）
（II）由題設知，ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=

1

3

×

1

3

=

1

9

，
P（ξ=1）=

1

6

×

1

3

+

1

3

×

1

6

=

1

9

，
P（ξ=2）=

1

6

×

1

6

+

1

2

×

1

3

+

1

3

×

1

2

=

13

36

，
P（ξ=3）=

1

2

×

1

6

+

1

6

×

1

2

=

1

6

，
P（ξ=4）=

1

2

×

1

2

=

1

4

．
∴ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	1 9	1 9	13 36	1 6	1 4

∴Eξ=0×

1

9

+1×

1

9

+2×

13

36

+3×

1

6

+4×

1

4

=

7

3

．（5分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，注意概率知識的靈活運用．