Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中點，AB₁⊥BC₁，則平面DBC₁與平面CBC₁所構成的角為

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：以A為坐標原點，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面DBC₁與平面CBC₁所構成的角的大小．

解答： 解：以A為坐標原點，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系．
設底面邊長為2a，側棱長為2b，
則A（0，0，0），C（0，2a，0），D（0，a，0），
B（

3

a，a，0），C₁（0，2a，2b），B₁（

3

a，a，2b）．
由

AB1

⊥

BC1

，得

AB1

•

BC1

=0，即2b²=a²．
設

n

₁=（x，y，z）為平面DBC₁的一個法向量，
則

n

•

DB

=0，

n

•

DC1

=0．
即

3 ax=0 ay+2bz=0

，又2b²=a²，令z=1，
解得

n

=（0，-

2

，1）．
同理可求得平面CBC₁的一個法向量為

m

=（1，

3

，0）．
設平面DBC₁與平面CBC₁所構成的角的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

- 6

3 ×2

|=

2

2

，得θ=45°．
∴平面DBC₁與平面CBC₁所構成的角為45°．
故答案為：45°．

點評：本題考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．