Question

6．已知拋物線E：y²=4x的焦點為F，點C（-1，0），過點F的直線l與拋物線E相交于A，B兩點，若AB⊥BC，則|AF|-|BF|=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由AB⊥BC，利用向量垂直與數量積間的關系列式求得B的橫坐標，將直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達定理求得A的橫坐標，分別表示出|AF|，|BF|，則|AF|-|BF|可求．

解答 解：如圖，

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由AB⊥BC，得$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BF}=（-1-{x}_{2}，-{y}_{2}）•（1-{x}_{2}，-{y}_{2}）=0$，
即${{x}_{2}}^{2}-1+{{y}_{2}}^{2}=0$，
由y₂²=4x₂，則x₂²+4x₂-1=0，由x₂＞0，得x₂=-2+$\sqrt{5}$，
由AB與x軸不垂直，設直線AB的方程y=k（x-1），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁x₂=1，得x₁=$\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{1}{-2+\sqrt{5}}$=2+$\sqrt{5}$，
∴|AF|-|BF|=（x₁+1）-（x₂+1）=（2+$\sqrt{5}$+1）-（-2+$\sqrt{5}$+1）=4，
故選：D．

點評 本題考查拋物線簡單幾何性質，考查拋物線的焦點弦公式，直線與拋物線的位置關系的應用，考查計算能力，屬于中檔題．