Question

4．已知函數f（x）=x²+ax-1滿足f（2016）=f（-2014），且函數g（x）=b^x（b＞0，且b≠1）的圖象過點（2，4）．
（1）求函數f（x），g（x）的解析式；
（2）函數y=f（g（x））+m+2在x∈[-3，3]上有零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數的性質求出a的值，從而求出f（x）的解析式，根據待定系數法求出g（x）的解析式即可；
（2）求出y=f（g（x））+m+2的解析式，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數f（x）=x²+ax-1滿足f（2016）=f（-2014），
∴函數f（x）的對稱軸是x=$\frac{2016-2014}{2}$=-$\frac{a}{2}$=1，解得：a=-2；
又函數g（x）=b^x（b＞0，且b≠1）的圖象過點（2，4）．
故b²=4，解得：b=2；
故f（x）=x²-2x-1，g（x）=2^x；
（2）若函數y=f（g（x））+m+2在x∈[-3，3]上有零點，
即y=2^2x-2•2^x+m+1=（2^x-1）²+m在[-3，3]有零點，
而（2^x-1）²在[-3，3]的最小值是0，最大值是49，
故m∈[0，49]．

點評 本題考查了二次函數以及指數函數的性質，考查函數零點問題，是一道中檔題．