Question

【題目】已知函數，，其中是自然對數的底數.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數在區間上為單調函數，求的取值范圍；

（3）當時，試判斷方程是否有實數解，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值

（2）或

（3）無實根，理由見解析

【解析】

（1）當時，求導數，確定函數的單調性，即可求函數的極值；

（2）函數在區間上為單調函數等價于或在區間上恒成立，再利用分離變量最值法即可得解；

（3）當時，可變形為，再左右分別構造函數求最值即可得解.

解：（1）當時，

，則，

當時，，時，，

即函數的減區間為，增區間為，

即函數的極小值為，無極大值；

（2）由函數，

則，

由函數在區間上為單調函數，

則或在區間上恒成立，

即或在區間上恒成立，

設，，則，

當時，，

即函數在為減函數，

則，

即或，

即或，

故的取值范圍為或；

（3）當時，方程沒有實數解

理由如下：

當時，，

則即為，

令，，

當時，，當時，，

即函數的增區間為，減區間為，

即，

即，

令，

則，

當時，，當時，，

即函數的增區間為，減區間為，

即，

則，

即無實數解，

故當時，方程沒有實數解.