Question

8．高為4，底面邊長為2的正四棱錐的內切球的體積為$\frac{（\sqrt{17}-1）^{3}}{48}π$．

Answer 1

分析 由等體積可得內切球半徑r，即可求出高為4，底面邊長為2的正四棱錐的內切球的體積．

解答 解：正四棱錐的斜高為$\sqrt{17}$，正四棱錐內切球的半徑為r
由等體積可得$\frac{1}{3}×{2}^{2}×4=\frac{1}{3}（4+4×\frac{1}{2}×2×\sqrt{17}）$r，
∴r=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$，
∴高為4，底面邊長為2的正四棱錐的內切球的體積為$\frac{4}{3}•π•$（$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$）³=$\frac{（\sqrt{17}-1）^{3}}{48}π$．
故答案為：$\frac{（\sqrt{17}-1）^{3}}{48}π$．

點評 本題主要考查內切球半徑r，考查計算能力和空間想象能力，等體積方法求出球的半徑是解決本題的關鍵．