Question

17．（1）已知角α終邊上一點P（m，5）（m≠0），且 $cosα=\frac{m}{13}$．求sinα+cosα+tanα的值；
（2）已知β∈（0，$\frac{π}{4}$）且$sinβcosβ=\frac{3}{10}$，求（ I）tanβ的值；
（II）sin²α+2cos²α+4sinαcosαsin²β+2cos²β+4sinβcosβ．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函數的定義可求m的值，進而得解sinα+cosα+tanα的值；
（2）（ I）由已知利用同角三角函數基本關系式，結合范圍β∈（0，$\frac{π}{4}$），即可得解．（ II）利用同角三角函數基本關系式化簡所求，即可計算得解．

解答 解：（1）當m＞0時，$cosα=\frac{m}{{\sqrt{{m^2}+{5^2}}}}=\frac{m}{13}，所以，m=13------（1分）$
$sinα+cosα+tanα=\frac{269}{156}-----（3分）$
當m＜0時，$cosα=\frac{m}{{\sqrt{{m^2}+{5^2}}}}=\frac{m}{13}，所以，m=-13------（4分）$
$sinα+cosα+tanα=\frac{-149}{156}-----（6分）$
（2）（ I）$sinβcosβ=\frac{3}{10}$=$\frac{sinβcosβ}{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}$=$\frac{tanβ}{ta{n}^{2}β}$+1，------（8分）
解得：tanβ=3或$\frac{1}{3}$，…（9分）
因為β∈（0，$\frac{π}{4}$），由三角函數線可知，tanβ=$\frac{1}{3}$，…（11分）
（ II）原式=$\begin{array}{l}\frac{{{{sin}^2}β+2{{cos}^2}β+4sinβcosβ}}{{{{sin}^2}β+{{cos}^2}β}}=\frac{{{{tan}^2}β+2+4tanβ}}{{{{tan}^2}β+1}}------（13分）\\=\frac{31}{10}-------（14分）\end{array}$

點評 本題主要考查任意角的三角函數的定義，同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．