Question

20．長度為5的線段AB的兩端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，點M在線段AB上，且AM=2，則點M的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 先設M（x，y），A（a，0），B（0，b），根據$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$得x，y的方程，最后根據a²+b²=25得出x，y的關系即M的軌跡方程．

解答 解：設M（x，y），A（a，0），B（0，b），
由$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$得（x-a，y）=$\frac{2}{3}$（-x，b-y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-a=-\frac{2}{3}x}\\{y=\frac{2}{3}（b-y）}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{5}a$，y=$\frac{2}{5}$b
∵|AB|=5
∴a²+b²=25
∴$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題主要考查了橢圓的標準方程．本題主要靈活利用了向量的關系進行解題．