Question

17．已知函數f（x）對一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并給與證明；
（2）若f（-3）=a，試用a表示f（12）．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，即可判斷、證明f（x）是奇函數；
（2）令x=y，得f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），即可用a表示f（12）．

解答 解：（1）令x=y=0，則f（0）=0，
令y=-x，即x+y=0，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，則f（x）=-f（-x）
所以f（x）是奇函數．
（2）∵f（x）是奇函數，∴f（3）=-f（-3）=-a
∴令x=y，得f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（12）=2f（6）=4f（3）=-4a．

點評 本題考查函數奇偶性的判定，考查賦值法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．