Question

【題目】如圖，，，…，是曲線：上的點(diǎn)，，，…，是軸正半軸上的點(diǎn)，且，，…，均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）寫出、和之間的等量關(guān)系，以及、和之間的等量關(guān)系；

（2）猜測(cè)并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，集合，，若，求實(shí)常數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2），證明見解析；（3）.

【解析】

（1）依題意利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，.

（2）由得，即，猜測(cè)，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

（3）用裂項(xiàng)法求得的值為，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，求得，再由，由，有，或，由此求得實(shí)常數(shù)的取值范圍.

（1）依題意利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，.

（2）由得，

即，猜測(cè).

證明：①當(dāng)時(shí)，可求得，命題成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有，

則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及，

得，

即，

解得，（不合題意，舍去），

即當(dāng)時(shí)，命題成立.

綜上所述，對(duì)所有，.

（3）

.

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，

所以.

，

由，有，或，

故.