Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點，且長軸長為4

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓的左頂點，經過左焦點的直線與橢圓交于、兩點，求與的面積之差的絕對值的最大值，并求取得最大值時直線的方程．為坐標原點）

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，直線的方程為

【解析】

（1）由題意可知：，，根據橢圓的性質：，即可求得和的值，從而求得橢圓方程；

（2）由題意設直線方程，，將直線方程代入橢圓方程，根據韋達定理求得，根據三角形的面積公式，對進行分類討論，從而求得的最大值，此時即可求出直線方程．

（1）由題意得，即，

因為，即，

又，

故橢圓的方程為：；

（2）設的面積為，的面積為，

設直線的方程為，，，，

由，整理得：，

由韋達定理可知：，

，

當時，，

當時，，

（當且僅當，即時等號成立）．

的最大值為，直線的方程為.