Question

17．在平面直角坐標系xOy中，向量$\overrightarrow{a}$=（x，y）所對應點位于第一象限，且在向量$\overrightarrow{b}$=（1，1）方向上的投影為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為x+y=1，x，y＞0．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（x，y）所對應點位于第一象限，且在向量$\overrightarrow{b}$=（1，1）方向上的投影為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化為x+y=1，x，y＞0．
則$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=3+$\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$，當且僅當y=$\sqrt{2}$x=2-$\sqrt{2}$．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質、向量投影，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．