Question

已知三角形ABC中，有：a²tanB=b²tanA，則三角形ABC的形狀是

等腰或直角三角形

．

Answer 1

分析：三角形ABC中，利用正弦定理將a²tanB=b²tanA化為

sin2A•sinB

cosB

-

sin2B•sinA

cosA

=0，再利用二倍角的正弦即可得到sin2A=sin2B，從而得到：A=B或A+B=

π

2

，問題即可解決．

解答：解：∵三角形ABC中，a²tanB=b²tanA，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R得：

sin2A•sinB

cosB

-

sin2B•sinA

cosA

=0，
∵sinA•sinB＞0，
∴

sinA

cosB

-

sinB

cosA

=0，即 

1 2 (sin2A-sin2B)

cosB•cosA

=0，
∴sin2A=sin2B，又A、B為三角形中的角，
∴2A=2B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=

π

2

．
故答案為：等腰三角形或直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查三角形的形狀判斷，著重考查正弦定理的應(yīng)用及二倍角的正弦及誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．