Question

（2013•南充一模）已知三角形ABC中，點D是BC的中點，過點D的直線分別交直線AB，AC于E、F兩點，若

AB

=λ

AE

（λ＞0），

AC

=μ

AF

（μ＞0），則

1

λ

+

4

μ

的最小值是（　　）

• A．.9
• B．

  7

  2

• C．5
• D．

  9

  2

Answer 1

分析：由已知可得

AD

=

AE

+

ED

=

AE

+x

EF

=

AE

+x(

AF

-

AE

)=x

AF

+(1-x)

AE

=

x

μ

AC

+

1-x

λ

AB

，

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，從而可得λ，μ的關系，利用基本不等式可求

解答：解：由D，E，F三點共線可設

ED

=x

EF

∵

AB

=λ

AE

（λ＞0），

AC

=μ

AF

（μ＞0）
∴

AD

=

AE

+

ED

=

AE

+x

EF

=

AE

+x(

AF

-

AE

)=x

AF

+(1-x)

AE

=

x

μ

AC

+

1-x

λ

AB

∵D為BC的中點
∴

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)
∴

x μ = 1 2 1-x λ = 1 2

∴

μ=2x λ=2-2x

即λ+μ=2
則

1

λ

+

4

μ

=

1

2

（

1

λ

+

4

μ

）（λ+μ）=

5

2

+

μ

2λ

+

2λ

μ

≥

5

2

+2=

9

2

當且僅當

μ

2λ

=

2λ

μ

即μ=2λ=

4

3

時取等號
故選D

點評：本題主要考查了基本不等式在求解函數的最值中的應用，解題的關鍵是根據已知向量的知識尋求基本不等式的條件．