Question

已知橢圓的右焦點，長軸的左、右端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過焦點斜率為（）的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點. 試問橢圓上是否存在點使得四邊形為菱形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由橢圓的右焦點，即.又長軸的左、右端點分別為,且，即可得，即可求出.從而得到橢圓的方程.
（2）由（1）可得假設(shè)直線AB的方程聯(lián)立橢圓方程消去y即可得到一個關(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理得到根與直線斜率k的關(guān)系式.寫出線段AB的中點坐標(biāo)以及線段AB的垂直平分線的方程.即可得到點D的坐標(biāo).假設(shè)存在點E由于對稱性本小題的問題等價轉(zhuǎn)化為即可.所以表示出點E的坐標(biāo).代入橢圓方程根據(jù)的解得情況即可結(jié)論.
試題解析：（1）依題設(shè)，，則，.
由，解得，所以.
所以橢圓的方程為. 
（2）依題直線的方程為.
由得.
設(shè),,弦的中點為，
則，，，，
所以.
直線的方程為，
令，得，則.
若四邊形為菱形，則，.
所以.
若點在橢圓上，則.
整理得，解得.所以橢圓上存在點使得四邊形為菱形.