Question

【題目】己知動點M與到點N(3，0)的距離比動點M到直線x=-2的距離大1，記動圓M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)若直線l與曲線C相交于A，B:兩點，且(O為坐標原點)，證明直線l經過定點H，并求出H點的坐標.

Answer 1

【答案】(1);(2)證明見解析，定點

【解析】

（1）題意可轉化為動點到點的距離與動點到直線的距離相等，通過拋物線的定義可得曲線方程；

（2）設，，直線的方程為，聯立直線與拋物線結合韋達定理，根據可以計算出的值，進而可求直線所過定點.

（1）由題意得動點到點的距離與動點到直線的距離相等，

∴動點的軌跡是以為焦點的拋物線.

∴曲線的方程為.

（2）∵直線與曲線相交于兩點，∴直線的斜率不為0

設，，直線的方程為

由，消去得，

∴，即

∴，，

∵，∴，

∴，

∴，滿足，

∴直線的方程為，

∴直線過定點.