Question

10．在（1+x+x²）ⁿ=${D}_{n}^{0}$$+{D}_{n}^{1}$x$+{D}_{n}^{2}$x²+…$+{D}_{n}^{r}$x^r+…$+{D}_{n}^{2n-1}$x^2n-1$+{D}_{n}^{2n}$x²ⁿ的展開式中，把D${\;}_{n}^{0}$，D${\;}_{n}^{1}$，D${\;}_{n}^{2}$…，D${\;}_{n}^{r}$…，D${\;}_{n}^{2n}$叫做三項式系數
（1）求D${\;}_{4}^{0}$$+{D}_{4}^{2}$$+{D}_{4}^{4}$$+{D}_{4}^{6}$$+{D}_{4}^{8}$的值
（2）根據二項式定理，將等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（x+1）ⁿ的兩邊分別展開可得，左右兩邊xⁿ的系數相等，即C${\;}_{2n}^{n}$=（C${\;}_{n}^{0}$）²+（C${\;}_{n}^{1}$）²+（C${\;}_{n}^{2}$）²+…+（C${\;}_{n}^{n}$）²，利用上述思想方法，請計算D${\;}_{2017}^{0}$C${\;}_{2017}^{0}$-D${\;}_{2017}^{1}$C${\;}_{2017}^{1}$+D${\;}_{2017}^{2}$C${\;}_{2017}^{2}$-…+（-1）^rD${\;}_{2017}^{r}$C${\;}_{2017}^{r}$+..$+{D}_{2017}^{2016}$C${\;}_{2017}^{2016}$$-{D}_{2017}^{2017}$C${\;}_{2017}^{2017}$的值．

Answer 1

分析 （1）分別根據新定義，令x=1或x=-1，即可求出答案，
（2）根據（1+x+x²）²⁰¹⁷ •（x-1）²⁰¹⁷ =（x³-1）²⁰¹⁷ 的等式兩邊的x²⁰¹⁷項的系數相同，從求得要求式子的值．

解答 解：（1）令x=1，則D₄⁰+D₄¹+D₄²+D₄³+D₄⁴+D₄⁵+D₄⁶+D₄⁷+D₄⁸=3⁴=81，
令x=-1，則D₄⁰-D₄¹+D₄²-D₄³+D₄⁴-D₄⁵+D₄⁶-D₄⁷+D₄⁸=（1-1+1）⁴=1，
∴D${\;}_{4}^{0}$$+{D}_{4}^{2}$$+{D}_{4}^{4}$$+{D}_{4}^{6}$$+{D}_{4}^{8}$
=$\frac{1}{2}$[（D₄⁰+D₄¹+D₄²+D₄³+D₄⁴+D₄⁵+D₄⁶+D₄⁷+D₄⁸）
+（D₄⁰-D₄¹+D₄²-D₄³+D₄⁴-D₄⁵+D₄⁶-D₄⁷+D₄⁸）]=$\frac{1}{2}$×（81+1）=41；
（2）∵（1+x+x²）²⁰¹⁷ =D₂₀₁₇⁰+D₂₀₁₇¹x+D₂₀₁₇²x²+…+D₂₀₁₇^r_xr+…+D₂₀₁₇^4033_x4033+D₂₀₁₇^4034_x4034，
（x-1）²⁰¹⁷ =C₂₀₁₇⁰x²⁰¹⁷-C₂₀₁₇¹x²⁰¹⁶+C₂₀₁₇²x²⁰¹⁵-C₂₀₁₇³x²⁰¹⁵+…+-C₂₀₁₇²⁰¹⁶x+C₂₀₁₇²⁰¹⁷，
其中其中x²⁰¹⁷系數為D₂₀₁₇⁰C₂₀₁₇⁰-D₂₀₁₇¹C₂₀₁₇¹+D₂₀₁₇²C₂₀₁₇²-D₂₀₁₇³C₂₀₁₇³+…+（-1）^rD${\;}_{2017}^{r}$C${\;}_{2017}^{r}$+..$+{D}_{2017}^{2016}$C${\;}_{2017}^{2016}$$-{D}_{2017}^{2017}$C${\;}_{2017}^{2017}$
∵（1+x+x²）²⁰¹⁷ •（x-1）²⁰¹⁷=（x³-1）²⁰¹⁷，
 而二項式的（x³-1）²⁰¹⁷ 的通項公式 T_r+1=C₂₀₁₇^r（-1）^r（x³）^2017-r，
因為2017不是3的倍數，所以（x³-1）²⁰¹⁷ 的展開式中沒有x²⁰¹⁷項，由代數式恒成立，
D₂₀₁₇⁰C₂₀₁₇⁰-D₂₀₁₇¹C₂₀₁₇¹+D₂₀₁₇²C₂₀₁₇²-D₂₀₁₇³C₂₀₁₇³+…+（-1）^rD${\;}_{2017}^{r}$C${\;}_{2017}^{r}$+..$+{D}_{2017}^{2016}$C${\;}_{2017}^{2016}$$-{D}_{2017}^{2017}$C${\;}_{2017}^{2017}$=0．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于難題．