Question

【題目】已知函數f（x）x3+ax2+bx，且f′（﹣1）＝0．

（1）試用含a的代數式表示b；

（2）求f（x）的單調區間；

（3）令a＝﹣1，設函數f（x）在x1、x2（x1＜x2）處取得極值，記點M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2））．證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M，N的公共點．

Answer 1

【答案】（1）b＝2a﹣1．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求導得到f′（x）＝x2+2ax+b，代入數據計算得到答案.

（2）討論a＞1，a＝1和a＜1三種情況，分別計算得到答案.

（3）f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，得到函數單調區間，得到MN的方程為yx﹣1，計算F（0）＝3＞0，F（2）＝﹣3＜0，得到答案.

（1）依題意，得f′（x）＝x2+2ax+b．由f′（﹣1）＝1﹣2a+b＝0得b＝2a﹣1．

（2）f（x）x3+ax2+（2a﹣1）x，故f′（x）＝x2+2ax+2a﹣1＝（x+1）（x+2a﹣1）．

令f′（x）＝0，則x＝﹣1或x＝1﹣2a．

①當a＞1時，1﹣2a＜﹣1．

當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，1﹣2a）	（1﹣2a，﹣1）	（﹣1，+∞）
f′（x）	+	﹣	+
f（x）	單調遞增	單調遞減	單調遞增

得，函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），單調減區間為（1﹣2a，﹣1）．

②當a＝1時，1﹣2a＝﹣1．此時，f′（x）≥0恒成立，且僅在x＝﹣1處f′（x）＝0，故函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，+∞）．

③當a＜1時，1﹣2a＞﹣1，同理可得函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），單調減區間為（﹣1，1﹣2a）．

綜上所述：當a＞1時，函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），單調減區間為（1﹣2a，﹣1）；

當a＝1時，函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，+∞）；

當a＜1時，函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），單調減區間為（﹣1，1﹣2a）．

（3）當a＝﹣1時，得f（x）x3﹣x2﹣3x．

由f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3．

由（2）得f（x）的單調增區間為（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），單調減區間為（﹣1，3），

所以函數f（x）在x1＝﹣1，x2＝3處取得極值．故M（﹣1，），N（3，﹣9）．

所以直線MN的方程為yx﹣1．

由得x3﹣3x2﹣x+3＝0．

令F（x）＝x3﹣3x2﹣x+3．

易得F（0）＝3＞0，F（2）＝﹣3＜0，而F（x）的圖象在（0，2）內是一條連續不斷的曲線，

故F（x）在（0，2）內存在零點x0，這表明線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點．