Question

20．已知函數f（x）=e^x-ln（x+a）（a∈R）有唯一的零點x₀，則（　　）

• A． -1＜x₀＜-$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$＜x₀＜-$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{4}$＜x₀＜0
• D． 0＜x₀＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用函數的零點以及方程的根的關系，通過函數的導數，二次導函數判斷函數的單調性，利用函數的零點判定定理，推出結果即可．

解答 解：函數f（x）=e^x-ln（x+a）（a∈R），則x＞-a，
可得f′（x）=e^x-$\frac{1}{x+a}$，f′′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+a）^{2}}$恒大于0，
f′（x）是增函數，令f′（x₀）=0，則${e}^{{x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}+a}$，有唯一解時，
a=$\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}-{x}_{0}$，代入f（x）可得：
f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}-ln（{x}_{0}+a）$=${e}^{{x}_{0}}-ln（\frac{1}{{e}^{{x}_{0}}}）$=${e}^{{x}_{0}}+{x}_{0}$，
由于f（x₀）是增函數，
f（-1）≈-0.63，f（$-\frac{1}{2}$）≈0.11
所以f（x₀）=0時，-1$＜{x}_{0}＜-\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的零點判定定理的應用，考查轉化是形成以及計算能力．難度比較大．