Question

9．已知函數f（x）=|x|（x-a）+1．當a=0時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）；若函數g（x）=f（x）-a有3個不同的零點，則a的取值范圍為（2$\sqrt{2}$-2，1） ．

Answer 1

分析 當a=0時，函數f（x）=|x|x+1=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x＜0\\{x}^{2}+1，x≥0\end{array}\right.$，結合二次函數的圖象和性質，可得函數f（x）的單調遞增區間；
函數g（x）=f（x）-a至多有一個負零點，兩個非負零點，進而得到a的取值范圍．

解答 解：當a=0時，函數f（x）=|x|x+1=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x＜0\\{x}^{2}+1，x≥0\end{array}\right.$，
故函數圖象是連續的，
且在（-∞，0）和[0，+∞）上均為增函數，
故函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，+∞）；
函數g（x）=f（x）-a=|x|（x-a）+1-a=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+ax-a+1，x＜0\\{x}^{2}-ax-a+1，x≥0\end{array}\right.$，
令g（x）=0，則
當x＜0時，-x²+ax-a+1=0，即a=x+1，x=a-1，
即函數g（x）至多有一個負零點，此時a-1＜0，a＜1；
當x≥0時，x²-ax-a+1=0，
若函數g（x）=f（x）-a有3個不同的零點，則x²-ax-a+1=0有兩個不等的正根，
則$\left\{\begin{array}{l}△={a}^{2}-4（-a+1）＞0\\ a＞0\\-a+1＞0\end{array}\right.$，
解得：2$\sqrt{2}$-2＜a＜1，
綜上可得：若函數g（x）=f（x）-a有3個不同的零點，則a的取值范圍為（2$\sqrt{2}$-2，1），
故答案為：（-∞，+∞），（2$\sqrt{2}$-2，1）

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數零點的存在性及個數判斷，難度中檔．