Question

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個等級.對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品.

（1）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P_甲、P_乙；

（2）已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在（1）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

（3）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名，可用資金60萬元.設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（2）的條件下，x、y為何值時，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）

表一

Answer 1

思路解析：本題主要綜合考查了相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建立與求解等知識.可以通過建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型來解決.

解：（1）P_甲=0.8×0.85=0.68,  P_乙=0.75×0.8=0.6.

（2）隨機(jī)變量ξ、η的分別列是

ξ	5	2.5
P	0.68	0.32

 

η	2.5	1.5
P	0.6	0.4

Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2,

Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1.

（3）由題設(shè)知

目標(biāo)函數(shù)為z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y.

作出可行域（如下圖）：作直線l:4.2x+2.1y=0，得l向右上方平移l₁位置時，直線經(jīng)過可行

城上點(diǎn)M，點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大，此時Z=4.2x+2.1y取最大值.

解方程組

得x=4,y=4.

即x=4,y=4時，z取最大值，z的最大值為25.2.